题目内容

（24山东数三）设函数 $f(x)$ 在 $[0,1]$ 上连续，且在 $(0,1)$ 可导，当 $x \in(0,1)$ 时，都有 $\left|f^{\prime}(x)\right| \leq M$ ，且 $\int_{0}^{1} f(x) d x=0$
证明：（1）存在 $x_{0} \in(0,1)$ ，使得 $f\left(x_{0}\right)=0$
（2）$f^{2}(0)+f^{2}(1) \leq M^{2}$