题目内容

（11江苏）设函数 $f(x)$ 满足微分方程 $x f^{\prime}(x)-2 f(x)=-(a+1) x$（其中 $a$ 为正常数），且 $f(1)=1$ ，由曲线 $y=f(x)(x \leq 1)$ 与直线 $x=1, y=0$ 所围成的平面图形记为 $D$ .已知 $D$ 的面积为 $\frac{2}{3}$ .
（1）求函数 $f(x)$ 的表达式；
（2）求平面图形 $D$ 绕 $x$ 轴旋转一周所形成的旋转体的体积 $V_{x}$ ；
（3）求平面图形 $D$ 绕 $y$ 轴旋转一周所形成的旋转体的体积 $V_{y}$ .