题目内容

设函数 $f(x)$ 在 $[0,1]$ 上连续，且 $\int_0^1 f(x) d x=1$ 。证明：
（1）对于任意整数 $n \geq 3$ ，存在点 $x_0 \in(0,1)$ ，使得 $\int_0^{x_0} f(x) d x=\frac{2}{n}$ 。
（2）在区间 $(0,1)$ 内存在两个不同的点 $\xi$ 和 $\eta$ ，使得 $2 f(\eta)+3 f(\xi)=5 f(\eta) f(\xi)$ 。