单选题 （共 12 题 ），每题只有一个选项正确
（10江苏）设当 $x \rightarrow 0$ 时，函数 $f(x)=x-\sin x$ 与 $g(x)=a x^{n}$ 是等价无穷小，则常数 $a, n$ 的值为
$\text{A.}$ $a=\frac{1}{6}, n=3$
$\text{B.}$ $\quad a=\frac{1}{3}, n=3$
$\text{C.}$ $a=\frac{1}{12}, n=4$
$\text{D.}$ $a=\frac{1}{6}, n=4$
（10江苏）曲线 $y=\frac{x^{2}-3 x+4}{x^{2}-5 x+6}$ 的渐近线共有
$\text{A.}$ 1 条
$\text{B.}$ 2 条
$\text{C.}$ 3 条
$\text{D.}$ 4 条
（10江苏）设函数 $\Phi(x)=\int_{x^{2}}^{2} e^{t} \cos t d t$ ，则函数 $\Phi(x)$ 的导数 $\Phi^{\prime}(x)$ 等于
$\text{A.}$ $2 x e^{x^{2}} \cos x^{2}$
$\text{B.}$ $-2 x e^{x^{2}} \cos x^{2}$
$\text{C.}$ $-2 x e^{x} \cos x$
$\text{D.}$ $-e^{x^{2}} \cos x^{2}$
（10江苏）下列级数收敛的是（ ）
$\text{A.}$ $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{n}{n+1}$
$\text{B.}$ $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{2 n+1}{n^{2}+n}$
$\text{C.}$ $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1+(-1)^{n}}{\sqrt{n}}$
$\text{D.}$ $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{n^{2}}{2^{n}}$
（10江苏）二次积分 $\int_{0}^{1} d y \int_{1}^{y+1} f(x, y) d x$ 交换积分次序后得
$\text{A.}$ $\int_{0}^{1} d x \int_{1}^{x+1} f(x, y) d y$
$\text{B.}$ $\int_{1}^{2} d x \int_{0}^{x-1} f(x, y) d y$
$\text{C.}$ $\int_{1}^{2} d x \int_{1}^{x-1} f(x, y) d y$
$\text{D.}$ $\int_{1}^{2} d x \int_{x-1}^{1} f(x, y) d y$
（10江苏）设 $f(x)=x^{3}-3 x$ ，则在区间 $(0,1)$ 内
$\text{A.}$ 函数 $f(x)$ 单调增加且其图形是凹的
$\text{B.}$ 函数 $f(x)$ 单调增加且其图形是凸的
$\text{C.}$ 函数 $f(x)$ 单调减少且其图形是凹的
$\text{D.}$ 函数 $f(x)$ 单调减少且其图形是凸的
（11江苏）当 $x \rightarrow 0$ 时，函数 $f(x)=e^{x}-x-1$ 是函数 $g(x)=x^{2}$ 的
$\text{A.}$ 高阶无穷小
$\text{B.}$ 低阶无穷小
$\text{C.}$ 同阶无穷小
$\text{D.}$ 等价无穷
（11江苏）设函数 $f(x)$ 在点 $x_{0}$ 处可导，且 $\lim _{h \rightarrow 0} \frac{f\left(x_{0}-h\right)-f\left(x_{0}+h\right)}{h}=4$ ，则 $f^{\prime}\left(x_{0}\right)=$
$\text{A.}$ -4
$\text{B.}$ -2
$\text{C.}$ 2
$\text{D.}$ 4
（11江苏）若点 $(1,-2)$ 是曲线 $y=a x^{3}-b x^{2}$ 的拐点，则
$\text{A.}$ $\quad a=1, b=3$
$\text{B.}$ $\quad a=-3, b=-1$
$\text{C.}$ $\quad a=-1, b=-3$
$\text{D.}$ $a=4, b=6$
（11江苏）设 $z=f(x, y)$ 为由方程 $z^{3}-3 y z+3 x=8$ 所确定的函数，则 $\left.\frac{\partial z}{\partial y}\right|_{\substack{x=0 \\ y=0}}=$
$\text{A.}$ $-\frac{1}{2}$
$\text{B.}$ $\frac{1}{2}$
$\text{C.}$ -2
$\text{D.}$ 2
（11江苏）如果二重积分 $\iint_{D} f(x, y) d x d y$ 可化为二次积分 $\int_{0}^{1} d y \int_{y+1}^{2} f(x, y) d x$ ，则积分域 $D$可表示为
$\text{A.}$ $\{(x, y) \mid 0 \leq x \leq 1, x-1 \leq y \leq 1\}$
$\text{B.}$ $\{(x, y) \mid 1 \leq x \leq 2, x-1 \leq y \leq 1\}$
$\text{C.}$ $\{(x, y) \mid 0 \leq x \leq 1, x-1 \leq y \leq 0\}$
$\text{D.}$ $\{(x, y) \mid 1 \leq x \leq 2,0 \leq y \leq x-1\}$
（11江苏）若函数 $f(x)=\frac{1}{2+x}$ 的幂级数展开式为 $f(x)=\sum_{n=0}^{\infty} a_{n} x^{n}(-2 < x < 2)$ ，则系数 $a_{n}=$
$\text{A.}$ $\frac{1}{2^{n}}$
$\text{B.}$ $\frac{1}{2^{n+1}}$
$\text{C.}$ $\frac{(-1)^{n}}{2^{n}}$
$\text{D.}$ $\frac{(-1)^{n}}{2^{n+1}}$
填空题 （共 12 题 ），请把答案直接填写在答题纸上
（10江苏） $\lim _{x \rightarrow \infty}\left(\frac{x+1}{x-1}\right)^{x}=$
（10江苏）若 $f^{\prime}(0)=1$ ，则 $\lim _{x \rightarrow 0} \frac{f(x)-f(-x)}{x}=$ $\_\_\_\_$
（10江苏）定积分 $\int_{-1}^{1} \frac{x^{3}+1}{x^{2}+1} d x$ 的值为 $\_\_\_\_$
（10江苏）设 $\vec{a}=(1,2,3), \vec{b}=(2,5, k)$ ，若 $\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 垂直，则常数 $k=$ $\_\_\_\_$
（10江苏）设函数 $z=\ln \sqrt{x^{2}+4 y}$ ，则 $\left.d z\right|_{\substack{x=1 \\ y=0}}=$ $\_\_\_\_$
（10江苏）幂级数 $\sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^{n}}{n} x^{n}$ 的收敛域为 $\_\_\_\_$
（11江苏）已知 $\lim _{x \rightarrow \infty}\left(\frac{x-2}{x}\right)^{k x}=e^{2}$ ，则 $k=$ $\_\_\_\_$.
（11江苏）设函数 $ \varphi(x)=\int_{0}^{x^{2}} \ln (1+t) d t$ ，则 $ \varphi^{\prime \prime}(1)=$ $\_\_\_\_$.
（11江苏）若 $|\vec{a}|=1,|\vec{b}|=4, \vec{a} \cdot \vec{b}=2$ ，则 $|\vec{a} \times \vec{b}|=$ $\_\_\_\_$.
（11江苏）设函数 $y=\arctan \sqrt{x}$ ，则 $\left.d y\right|_{x=1}=$ $\_\_\_\_$.
（11江苏）定积分 $\int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}}\left(x^{3}+1\right) \sin ^{2} x d x$ 的值为 $\_\_\_\_$.
（11江苏）幂级数 $\sum_{n=0}^{\infty} \frac{x^{n}}{\sqrt{n+1}}$ 的收敛域为 $\_\_\_\_$.
解答题 （共 17 题 ），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤
（10江苏）.求极限 $\lim _{x \rightarrow 0}\left(\frac{1}{x \tan x}-\frac{1}{x^{2}}\right)$
（10江苏）设函数 $y=y(x)$ 由方程 $y+e^{x+y}=2 x$ 所确定，求 $\frac{d y}{d x}, \frac{d^{2} y}{d x^{2}}$
（10江苏）求不定积分 $\int x \arctan x d x$
（10江苏）计算定积分 $\int_{0}^{4} \frac{x+3}{\sqrt{2 x+1}} d x$
（10江苏）求通过点 $(1,1,1)$ ，且与直线 $\left\{\begin{array}{l}x=2+t \\ y=3+2 t \\ z=5+3 t\end{array}\right.$ 垂，又与平面 $2 x-z-5=0$ 平行的直线的方程。
（10江苏）设 $z=y^{2} f\left(x y, e^{x}\right)$ ，其中函数 $f$ 具有二阶连续偏导数，求 $\frac{\partial^{2} z}{\partial x \partial y}$
（10江苏）计算二重积分 $\iint_{D} x d x d y$ ，其中 D 是由曲线 $x=\sqrt{1-y^{2}}$ ，直线 $y=x$ 及 $x$ 轴所围成的闭区域。
（10江苏）已知函数 $y=e^{x}$ 和 $y=e^{-2 x}$ 是二阶常系数齐次线性微分方程 $y^{\prime \prime}+p y^{\prime}+q y=0$ 的
两个解，试确定常数 $p, q$ 的值，并求微分方程 $y^{\prime \prime}+p y^{\prime}+q y=e^{x}$ 的通解。
（11江苏）求极限 $\lim _{x \rightarrow 0} \frac{\left(e^{x}-e^{-x}\right)^{2}}{\ln \left(1+x^{2}\right)}$ .
（11江苏）设函数 $y=y(x)$ 由参数方程 $\left\{\begin{array}{l}x=t^{2}+t \\ e^{y}+y=t^{2}\end{array}\right.$ 所确定，求 $\frac{d y}{d x}$ .
（11江苏）设 $f(x)$ 的一个原函数为 $x^{2} \sin x$ ，求不定积分 $\int \frac{f(x)}{x} d x$ .
（11江苏）计算定积分 $\int_{0}^{3} \frac{x}{1+\sqrt{x+1}} d x$ .
（11江苏）求通过 $x$ 轴与直线 $\frac{x}{2}=\frac{y}{3}=\frac{z}{1}$ 的平面方程.
（11江苏）设 $z=x f\left(\frac{y}{x}, y\right)$ ，其中函数 $f$ 具有二阶连续偏导数，求 $\frac{\partial^{2} z}{\partial x \partial y}$ .
（11江苏）计算二重积分 $\iint_{D} y d x d y$ ，其中 $D$ 是由曲线 $y=\sqrt{2-x^{2}}$ ，直线 $y=-x$ 及 $y$ 轴所围成的平面闭区域.
（11江苏）已知函数 $y=(x+1) e^{x}$ 是一阶线性微分方程 $y^{\prime}+2 y=f(x)$ 的解，求二阶常系数线性微分方程 $y^{\prime \prime}+3 y^{\prime}+2 y=f(x)$ 的通解.
(09江苏)已知 $f(x)=\left\{\begin{array}{ll}e^{-x} & x < 0 \\ x+1 & x \geq 0\end{array}\right.$, 证明 $f(x)$ 在 $x=0$ 处连续但不可导.
应用题 （共 4 题 ），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤
（10江苏）设由抛物线 $y=x^{2}(x \geq 0)$ ，直线 $y=a^{2}(0 < a < 1)$ 与 y 轴所围成的平面图形绕 x轴旋转一周所形成的旋转体的体积记为 $V_{1}(a)$ ，由抛物线 $y=x^{2}(x \geq 0)$ ，直线 $y=a^{2}(0 < a < 1)$ 与直线 $x=1$ 所围成的平面图形绕 x 轴旋转一周所形成的旋转体的体积记为 $V_{2}(a)$ ，另 $V(a)=V_{1}(a)+V_{2}(a)$ ，试求常数 $a$ 的值，使 $V(a)$ 取得最小值。
（10江苏）设函数 $f(x)$ 满足方程 $f^{\prime}(x)+f(x)=2 e^{x}$ ，且 $f(0)=2$ ，记由曲线 $y=\frac{f^{\prime}(x)}{f(x)}$ 与
直线 $y=1, x=t(t>0)$ 及 y 轴所围平面图形的面积为 $A(t)$ ，试求 $\lim _{t \rightarrow+\infty} A(t)$
（11江苏）设 $f(x)=\left\{\begin{array}{cc}\frac{e^{a x}-x^{2}-a x-1}{x \arctan x} & x < 0 \\ 1 & x=0, \\ \frac{e^{a x}-1}{\sin 2 x} & x>0\end{array}\right.$ 问常数为何值时，
（1）$x=0$ 是函数 $f(x)$ 的连续点？
（2）$x=0$ 是函数 $f(x)$ 的可去间断点？
（3）$x=0$ 是函数 $f(x)$ 的跳跃间断点？
（11江苏）设函数 $f(x)$ 满足微分方程 $x f^{\prime}(x)-2 f(x)=-(a+1) x$（其中 $a$ 为正常数），且 $f(1)=1$ ，由曲线 $y=f(x)(x \leq 1)$ 与直线 $x=1, y=0$ 所围成的平面图形记为 $D$ .已知 $D$ 的面积为 $\frac{2}{3}$ .
（1）求函数 $f(x)$ 的表达式；
（2）求平面图形 $D$ 绕 $x$ 轴旋转一周所形成的旋转体的体积 $V_{x}$ ；
（3）求平面图形 $D$ 绕 $y$ 轴旋转一周所形成的旋转体的体积 $V_{y}$ .
证明题 （共 5 题 ），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤
(09江苏)证明: 当 $1 < x < 2$ 时, $4 x \ln x>x^{2}+2 x-3$.
（10江苏）证明：当 $x>1$ 时，$e^{x-1}>\frac{1}{2} x^{2}+\frac{1}{2}$
（10江苏）设 $f(x)=\left\{\begin{array}{cc}\frac{\varphi(x)}{x}, & x \neq 0, \\ 1, & x=0,\end{array}\right.$ 其中函数 $\varphi(x)$ 在 $x=0$ 处具有二阶连续
导数，且 $\varphi(0)=0, \varphi^{\prime}(0)=1$ ，证明：函数 $f(x)$ 在 $x=0$ 处连续且可导。
（11江苏）证明：方程 $x \ln \left(1+x^{2}\right)=2$ 有且仅有一个小于 2 的正实根.
（11江苏）证明：当 $x>0$ 时，$x^{2011}+2010 \geq 2011 x$ .