应用题 （共 1 题 ），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤
（08河南）一块铁皮宽为 24 厘米，把它的两边折上去，做成一正截面为等腰梯形的槽（如下图），要使梯形的面积 $A$ 最大，求腰长 $x$ 和它对底边的倾斜角 $\alpha$ 。
证明题 （共 1 题 ），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤
（08河南）证明方程 $\ln x=\frac{x}{e}-\int_{0}^{\pi} \sqrt{1-\cos 2 x} d x$ 在区间 $\left(e, e^{3}\right)$ 内仅有一个实根．