应用题 （共 3 题 ），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤
（22年数三）已知 $0 < k < 2$ ，直线 $y=x, x=2$ 与曲线 $y=\frac{1}{k} x^{2}$ 围成两块阴影区域，其面积分别为 $S_{1}$ 和 $S_{2}, S=S_{1}+S_{2}$
（1）求 $S$ ．（2），$k$ 何值时，$S$ 最小，最小面积时多少
(08江苏)设平面图形由曲线 $y=x^{2}, y=2 x^{2}$ 与直线 $x=1$ 所围成.
(1) 求该平面图形绕 $x$ 轴旋转一周所得的旋转体的体积.
(2) 求常数 $a$, 使直线 $x=a$ 将该平面图形分成面积相等的两部分.
（10江苏）设由抛物线 $y=x^{2}(x \geq 0)$ ，直线 $y=a^{2}(0 < a < 1)$ 与 y 轴所围成的平面图形绕 x轴旋转一周所形成的旋转体的体积记为 $V_{1}(a)$ ，由抛物线 $y=x^{2}(x \geq 0)$ ，直线 $y=a^{2}(0 < a < 1)$ 与直线 $x=1$ 所围成的平面图形绕 x 轴旋转一周所形成的旋转体的体积记为 $V_{2}(a)$ ，另 $V(a)=V_{1}(a)+V_{2}(a)$ ，试求常数 $a$ 的值，使 $V(a)$ 取得最小值。
证明题 （共 8 题 ），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤
(25山东数三)设函数 $f(x)$ 在 $[0,2]$ 上连续，在 $(0,2)$ 内二阶可导，且 $f(0)=1, f(1)=2, f(2)=4$证明：至少存在 $\xi \in(0,2)$ ，使得 $f^{\prime \prime}(\xi)=1$ ．
(23山东数一)设函数 $f(x)$ 在 $[0,1]$ 上连续，且 $\int_{0}^{1} f(x) d x=1$
证明：（1）对于任意整数 $n \geq 2$ ，存在 $x_{0} \in(0,1)$ ，使得 $\int_{0}^{x_{0}} f(x) d x=\frac{1}{n}$ 成立．
（2）在 $(0,1)$ 内存在两个不同的点 $\xi, \eta$ 使得 $f(\eta)+3 f(\xi)=4 f(\eta) f(\xi)$ ．
(23山东数二)设函数 $f(x)$ 在 $[0,1]$ 上连续，且在 $(0,1)$ 可导，且 $f(0)>0, f(1) < 1$
证明：（1）存在 $x_{0} \in(0,1)$ ，使得 $f\left(x_{0}\right)=x_{0}$
（2）存在 $\xi \in(0,1)$ ，使得 $\left[3-f^{\prime}(\xi)\right] \xi=2 f(\xi)$
（24山东数一）设函数 $f(x)$ 在 $[0,1]$ 上连续，在 $(0,1)$ 可导，且 $f(0)=f(1)=0$ ，设 $f(x)$ 在 $[0,1]$ 上的最大值是 $M(M>0)$
证明：在 $(0,1)$ 内存在两个不同的点 $\xi, \eta$ 使得 $\left|f^{\prime}(\xi)\right|+\left|f^{\prime}(\eta)\right| \geq 4 M$ ．
（24山东数二）设函数 $f(x)$ 在 $[a, b]$ 上连续，且在 $(a, b)$ 可导，当 $x \in(a, b)$ 时，都有 $\left|f^{\prime}(x)\right| \leq M$ ，且
$\int_{a}^{b} f(x) d x=0$
证明：$|f(a)|+|f(b)| \leq M(b-a)$
（24山东数三）设函数 $f(x)$ 在 $[0,1]$ 上连续，且在 $(0,1)$ 可导，当 $x \in(0,1)$ 时，都有 $\left|f^{\prime}(x)\right| \leq M$ ，且 $\int_{0}^{1} f(x) d x=0$
证明：（1）存在 $x_{0} \in(0,1)$ ，使得 $f\left(x_{0}\right)=0$
（2）$f^{2}(0)+f^{2}(1) \leq M^{2}$
（25数一）已知函数 $f(x)$ 在 $[0,1]$ 上连续，在 $(0,1)$ 内可导，
证明：存在 $\xi \in(0,1)$ ，使得 $\int_{0}^{1} f(x) \mathrm{d} x=f(0)+f^{\prime}(\xi)(1-\xi)$ ．
（25山东数二），设函数 $f(x)$ 在 $[0,2]$ 上连续，在 $(0,2)$ 内可导，且 $\int_{0}^{1} f(x) \mathrm{d} x=\int_{1}^{2} f(x) \mathrm{d} x-1$ ．证明：存在 $\xi \in(0,2)$ ，使得 $f^{\prime}(\xi)=1$ 。