解答题 （共 8 题 ），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤
（15河南）求幂级数 $\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n-1} \frac{(x-1)^{n}}{n}$ 的收敛区间．
（15河南）求级数 $\sum_{n=1}^{\infty} n x^{n-1}$ 的和函数．
（16河南）求幂级数 $\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n} \frac{(x-1)^{n}}{n+1}$ 的收敛区间．
（16河南）求级数 $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{x^{n+1}}{n}$ 的和函数．
（19河南）求级数 $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{x^{n}}{5^{n}(n+1)}$ 的收敛区间（不考虑两个端点的收敛性）．
（25河南）求幂级数 $1+\frac{x^{2}}{2}+\frac{x^{4}}{4}+\cdots+\frac{x^{2 n}}{2 n}+\cdots$ 在其收敛区间 $(-1,1)$ 上的和函数
(04江苏)把函数 $f(x)=\frac{1}{x+2}$ 展开为 $x-2$ 的幂级数, 并写出它的收敛区间.
设 $f(x)=\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^n (n+1) \frac{x^{2 n+1}}{(2 n+1)!}$ ,求和函数