单选题 （共 5 题 ），每题只有一个选项正确
已知函数 $f(x)=\ln (x-1)$ ，则 $f(x)$ 的定义域是
$\text{A.}$ $(1,+\infty)$
$\text{B.}$ $[1,+\infty)$
$\text{C.}$ $(-\infty, 1)$
$\text{D.}$ $(-\infty, 1]$
（08河南）当 $x \rightarrow 0$ 时， $\ln \left(1+x^{2}\right)$ 是比 $1-\cos x$ 的
$\text{A.}$ 低阶无穷小
$\text{B.}$ 高阶无穷小
$\text{C.}$ 等阶无穷小
$\text{D.}$ 同阶但不等价无穷小
曲线 $y=\frac{1+\mathrm{e}^{-x^2}}{1-\mathrm{e}^{-x^2}}$ 渐近线的条数为 ．
$\text{A.}$ 0
$\text{B.}$ 1
$\text{C.}$ 2
$\text{D.}$ 3
微分方程 $\frac{\mathrm{d}^2 y}{\mathrm{~d} x^2}+6 \frac{\mathrm{~d} y}{\mathrm{~d} x}+10 y=0$ 的通解为
$\text{A.}$ $y=C_1 \cos x+C_2 \sin x$
$\text{B.}$ $y=\mathrm{e}^{-3 x}\left(C_1 \cos x+C_2 \sin x\right)$
$\text{C.}$ $y=\mathrm{e}^{3 x}\left(C_1 \cos x+C_2 \sin x\right)$
$\text{D.}$ $y=C_1 \cos 3 x+C_2 \sin 3 x$
设 $f(x)$ 在 $[0,1]$ 上连续、单调递增且恒为正值.记$I_1=\int_0^{\frac{\pi}{4}} f(x) \mathrm{d} x$,$I_2=\int_0^{\frac{\pi}{4}} f(\tan x) \mathrm{d} x$, $ I_3=\int_0^{\frac{\pi}{4}} f(\sin x) \mathrm{d} x$, 则 $I_1, I_2, I_3$ 的大小关系为
$\text{A.}$ $I_2 < I_3 < I_1$
$\text{B.}$ $I_3 < I_1 < I_2$
$\text{C.}$ $I_1 < I_3 < I_2$
$\text{D.}$ $I_3 < I_2 < I_1$
填空题 （共 5 题 ），请把答案直接填写在答题纸上
设$
f(x)=\left\{\begin{array}{ll}
x^2, & x < 1 \\
x+3, & x \geq 1
\end{array}, \quad g(x)= \begin{cases}2-x, & x \leq 0 \\
2 x, & x>0\end{cases}\right.
$,则 $f(g(-2))=$ $\_\_\_\_$
已知曲线 $y=x^3-3 a x^2+3a+1$ 的拐点为 $(1,2)$ ，则 $a=$ $\_\_\_\_$
（24河南）设 $z=x y \mathrm{e}^{x^{2}+y^{2}}$ ，则 $\left.\frac{\partial z}{\partial x}\right|_{\substack{x=0 \ y=1}}=$ ________
已知 $f(x)$ 为连续函数， $\int_0^x t f(x-t) \mathrm{d} t=1-\cos x$ ，求 $\int_0^{\frac{\pi}{2}} f(x) \mathrm{d} x$ 的值．
已知函数 $f(x, y)$ 在 $R^{2}$ 上连续，将 $\int_{2}^{3} d x \int_{x^2-8x+12}^{0} f(x, y) d y+\int_{3}^{4} d x \int_{x^2-4x}^{0} f(x, y) d y$ 交换积分次序为 ________
解答题 （共 7 题 ），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤
求极限 $\lim _{x \rightarrow 0} \frac{e^{2-cosx}-e}{x \tan x}$
$\lim _{x \rightarrow 1} \frac{x^2-1}{\sqrt{4 x-3}-1}$
$\int \frac{{arctan} \sqrt{x+1}+1}{\sqrt{x+1}} d x$
$\int_0^\sqrt3\left(x^3+x\right) \sqrt{1+x^2} d x$
微分方程 $\left(1+y^2\right) \mathrm{d} x+(2 x-1) y \mathrm{~d} y=0$ 的通解为
已知由 $f(y+x, 2y z)=x^2-2y$ 确定函数 $z=z(x, y)$ ， $f$ 具有连续偏导数，求偏导数 $\frac{\partial z}{\partial x}, ~ \frac{\partial z}{\partial y}$
计算$\iint \frac{1}{\sqrt{\left(x^2+y^2\right)^3}} d x d y$
其中D 是 $y=\sqrt{1-x^2}$与 $ x=1 $，$ y=1$围成的区域
应用题 （共 2 题 ），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤
平面图形由曲线 $y=tan x$ 与该$y$轴，$y=1$所围成，试求：
1．该平面图形的面积；
2．该图形绕 $x$ 轴旋转所成的旋转体的体积。
某公司销售甲、乙两种产品，单价分别为 5 元和 8.5 元，已知销售产品甲 $x$ 件和乙 $y$ 件的总成本是 $0.02\left(x^2+x y+y^2\right)+100$ 元．问 $x$ 和 $y$ 为多少时，该公司获得的利润最大？
证明题 （共 1 题 ），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤
设函数 $f(x)$ 在 $[0,1]$ 上连续，在 $(0,1)$ 内二阶可导，且 $f^\prime(0)=0, f(0)= f(1)=0$ ，证明：
（1），存在 $\xi \in(0,1)$ ，使得 $f^{\prime}(\xi)+f(\xi)=0$ ；
（2），存在 $\eta\in(0,1)$ ，使得 $f^{\prime{\prime}}(\eta)-f(\eta)=0$ ；