单选题 （共 5 题 ），每题只有一个选项正确
（21山东数三）当 $x \rightarrow 0$ 时，以下函数是无穷小量的是（ ）
$\text{A.}$ $1-\sqrt[3]{x}$
$\text{B.}$ $1-e^{x}$
$\text{C.}$ $1-\sin x$
$\text{D.}$ $1-\tan x$
（02河南）. 定积分 $\int_{0}^{1} e^{\sqrt{x}} d x$ 的值是（）
$\text{A.}$ $e$
$\text{B.}$ $\frac{1}{2}$
$\text{C.}$ $e^{\frac{1}{2}}$
$\text{D.}$ 2
（14河南）设 $f(x)=\int_{0}^{x}(t-1) \sin t \mathrm{~d} t$ ，则 $f^{\prime}(x)=$
$\text{A.}$ $\sin x+x \cos x$
$\text{B.}$ $(x-1) \cos x$
$\text{C.}$ $\sin x-x \cos x$
$\text{D.}$ $(x-1) \sin x$
(20江苏)设函数 $f(x)$ 在点 $x=0$ 处连续，且 $\lim _{x \rightarrow 0} \frac{f(3 x)}{x}=2$ ，则 $f^{\prime}(0)=$
$\text{A.}$ $\frac{2}{3}$
$\text{B.}$ $\frac{3}{2}$
$\text{C.}$ 3
$\text{D.}$ 6
(23陕西)函数 $f(x)=\frac{x^{2}+1}{x(x-1)(x+1)}$ 的间断点个数 $\_\_\_\_$
$\text{A.}$ 0
$\text{B.}$ 1
$\text{C.}$ 2
$\text{D.}$ 3
填空题 （共 5 题 ），请把答案直接填写在答题纸上
(23山东数二)已知函数 $f(x)=3 x+\int_{0}^{4} f\left(\frac{x}{2}\right) d x, \int_{0}^{1} f(x) d x$ 为 $\qquad$
（02河南） 设 $f(x, y, z)=\ln (x y+z)$ ，则 $f_{x}^{\prime}(1,2,0)=$ $\qquad$ .
（07河南）$\int \frac{f^{\prime}(x)}{f(x)} d x=$ $\qquad$
（11浙江）已知 $f(0)=2, f(2)=3, f^{\prime}(2)=4$ ，则 $\int_{0}^{2} x f^{\prime \prime}(x) d x=$ $\_\_\_\_$ .
(23安徽)$\lim _{x \rightarrow \infty}\left(\frac{x+1}{x}\right)^{2 x-1}=$
解答题 （共 5 题 ），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤
（21山东数二）．计算二重积分 $\iint_{D}(x+2 y) d x d y$ ，其中积分区域 $D$ 是由直线 $y=x, y=4 x$ 以及曲线 $x y=1$ 所围成的平面闭区域
（24山东数一）计算不定积分 $\int \frac{x^{2}+5 x+2}{x^{2}+4} d x$
(10陕西)求微分方程 $y^{\prime \prime}y^{\prime}=2 x$ 的通解.
（22海南） 求极限 $\lim _{x \rightarrow \infty}\left(\frac{x+1}{x}\right)^{5 x}$ ．
（16福建）已知曲线 $y=x^{3}+a x^{2}+b$ 的拐点为 $(1,-1)$ ，求常数 $a, b$ 的值．
应用题 （共 5 题 ），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤
（11山东）求抛物线 $y=\frac{1}{2} x^{2}$ 将圆 $x^{2}+y^{2}=8$ 分割后形成的两部分的面积．
（25山东数二）设平面图形 $D$ 是由曲线 $y=x^{2}+1, y=\sqrt{x}$ 和直线 $x=0, x=2$ 所围成的封闭区域，求 $D$ 绕 $x$ 轴旋转一周所得到的旋转体的体积．
（05河南）一房地产公司有 50 套公寓要出租, 当月租金定为 2000 元时, 公寓会全部租出去, 当月租金每增加 100 元时, 就会多一套公寓租不出去, 而租出去的公寓每月需花费 200 元的维修费. 试问租金定为多少可获得最大收入?最大收入是多少?
（16河南）求由直线 $x=1, x=e, y=0$及曲线 $y=\frac{1}{x}$ 所围成平面图形的面积．
(25福建)曲线 $y=x^{3}+1$ ，与 y 轴交于 A 点，与 $y=2$ 交于 B 点，直线 AB 与曲线围成图形为$ D$,求
（1）直线 $A B$ 方程
（2） $D$ 的面积是多少
证明题 （共 5 题 ），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤
（15山东）证明方程 $x^{5}+x-1=0$ 只有一个正根．
(09江苏)证明: 当 $1 < x < 2$ 时, $4 x \ln x>x^{2}+2 x-3$.
设函数 $f(x)$ 在 $[0,1]$ 上连续，在 $(0,1)$ 内二阶可导，且 $f^\prime(0)=0, f(0)= f(1)=0$ ，证明：
（1），存在 $\xi \in(0,1)$ ，使得 $f^{\prime}(\xi)+f(\xi)=0$ ；
（2），存在 $\eta\in(0,1)$ ，使得 $f^{\prime{\prime}}(\eta)-f(\eta)=0$ ；
（06浙江数二）若函数 $f(x)=\int_{0}^{x}(x-t) f(t) d t+e^{x}$ ，求 $f(x)$ ．
（13浙江）证明：$f(x)$ 在 $[-a, a]$ 上的连续函数，则 $\int_{-a}^{a} f(x) d x=\left\{\begin{array}{l}2 \int_{0}^{a} f(t) d t, \text { 若 } f(x) \text { 是偶函数 } \\ 0, \text { 若 } f(x) \text { 为奇函数 }\end{array}\right.$
综合题 （共 5 题 ），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤
（23江苏）设函数 $f(x)=\frac{a x^{2}+2 x-1}{x^{2}+b x+1}$ ，已知直线 $x=1$ 与 $y=0$ 均为曲线 $y=f(x)$ 的渐近线，求：
（1）常数 $a, b$ 的值：
（2）曲线 $y=f(x)$ 的凹凸区间与拐点．
（24浙江）可导函数 $f(x)=\int_0^{x-1}(t+2) f(t+1) d t+(x+1)^2$ ．
（1）求 $f(1)$ ；
（2）求 $f(x)$ ．
(19广东)设函数 $f(x)=x \ln (1+x)-(1+x) \ln x$ .
（1）证明：$f(x)$ 在区间 $(0,+\infty)$ 内单调减少；
（2）比较数值 $2018^{2019}$ 与 $2019^{2018}$ 的大小，并说明理由；
(20广东)设有界平面图形 $G$ 由曲线 $y=e^{a x}$ 和直线 $y=e, x=0$ 围成，其中常数 $a>0$ ，若 $G$ 的面积等于 1 .
（1）求 $a$ 的值；
（2）求 $G$ 绕 $y$ 轴旋转一周而成的旋转体体积 $V$ .
(22广东)设函数 $f(x)$ 连续.
（1）证明： $\int_{0}^{x} f(x-t) d t=\int_{0}^{x} f(t) d t$ ；
（2）若 $f(x)$ 满足 $f(x)=3 x+1+\int_{0}^{x} t f(t) d t-x \int_{0}^{x} f(x-t) d t$ ，求 $f(x)$ .