单选题 （共 5 题 ），每题只有一个选项正确
（17山东）曲线 $y=(x+6) e^{\frac{1}{x}}$ 的单调减区间的个数为
$\text{A.}$ 0
$\text{B.}$ 1
$\text{C.}$ 3
$\text{D.}$ 2
（03河南） 下列等式成立的是（）
$\text{A.}$ $\lim _{x \rightarrow 0} \frac{\sin x^{2}}{x}=1$
$\text{B.}$ $\lim _{x \rightarrow 0} \frac{\sin x}{x^{2}}=1$
$\text{C.}$ $\lim _{x \rightarrow 0} \frac{\tan x}{x}=1$
$\text{D.}$ $\lim _{x \rightarrow \infty} \frac{\sin x}{x}=1$
（20河南）方程 $x^{2}+y^{2}-z=0$ 表示的二次曲面是
$\text{A.}$ 椭球面
$\text{B.}$ 圆锥面
$\text{C.}$ 旋转抛物面
$\text{D.}$ 柱面
（18江苏）设 $f(x)=\varphi\left(\frac{1-x}{1+x}\right)$ ，其中 $\varphi(x)$ 为可导函数，且 $\varphi^{\prime}(1)=3$ ，则 $f^{\prime}(0)$ 等于
$\text{A.}$ -6
$\text{B.}$ 6
$\text{C.}$ -3
$\text{D.}$ 3
(23安徽)已知随机变量 $X$ 服从正态分布，$N\left(\mu, \sigma^{2}\right)$ ，若 $P(X \leqslant-1)=P(X \geqslant 3)=0. 023, P(X \leqslant 2)=$ 0. 841 ，则 $P(0 \leqslant X \leqslant 3)=$
$\text{A.}$ 0. 272
$\text{B.}$ 0. 682
$\text{C.}$ 0. 818
$\text{D.}$ 0. 954
填空题 （共 5 题 ），请把答案直接填写在答题纸上
（20山东数二）已知函数 $f(x)=x^{3}+3 x-2, g(x)=\tan x$ ，则 $f\left[g\left(\frac{\pi}{4}\right)\right]=$ $\qquad$
（07河南）$\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{2^{n}}{n!}=$ $\qquad$ ．
(07江苏)已知 $\vec{a}, \vec{b}$ 均为单位向量, 且 $\vec{a} \cdot \vec{b}=\frac{1}{2}$, 则以向量 $\vec{a} \cdot \vec{b}$ 为邻边的平行四边形的面积为
（12浙江）极限 $\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{1}{n \sqrt{n}}(\sqrt{1}+\sqrt{2}+\ldots+\sqrt{n})$ 用定积分表示为 $\_\_\_\_$ .
（22陕西） 极限 $\lim _{x \rightarrow 0} \frac{\sin 2 x}{x}=$ $\qquad$ .
证明题 （共 5 题 ），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤
（24山东数一）设函数 $f(x)$ 在 $[0,1]$ 上连续，在 $(0,1)$ 可导，且 $f(0)=f(1)=0$ ，设 $f(x)$ 在 $[0,1]$ 上的最大值是 $M(M>0)$
证明：在 $(0,1)$ 内存在两个不同的点 $\xi, \eta$ 使得 $\left|f^{\prime}(\xi)\right|+\left|f^{\prime}(\eta)\right| \geq 4 M$ ．
（06河南）设 $f(x)$ 在 $[-a, a]$（ $a>0$ ，为常数）上连续，证明：$\int_{-a}^{a} f(x) d x=\int_{0}^{a}[f(x)+f(-x)] d x$，并计算 $\int_{-\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{4}} \frac{\cos x}{1+e^{-x}} d x$ ．
（19河南）设 $f(x)$ 在 $[a, b]$ 上连续，$(a, b)$ 内可导，$f(a)=a, f(b)=b$ ，且 $x \in[a, b]$ 时 $f(x) \neq 0$ ，证明：至少存在一点 $\xi \in(a, b)$ ，使得 $f(\xi)=\xi \cdot f^{\prime}(\xi)$ ．
(09江苏)证明: 当 $1 < x < 2$ 时, $4 x \ln x>x^{2}+2 x-3$.
（26山东数二）已知函数 $f(x)$ 在 $[0,4]$ 上有连续的二阶导数，当 $x \in(0,4)$ 时，$f(0)=f(4)=0$ 且 $f(x)>0$
证明：对于任意的 $x \in[0.4]$ ，满足使得 $f(x) \leq \int_0^4\left|f^{\prime \prime}(x)\right| \mathrm{d} x$ ．
综合题 （共 5 题 ），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤
（03江苏）要设计一个容积为 $V$ 立方米的有盖圆形油桶,已知单位面积造价：侧面是底面的一半, 而盖又是侧面的一半, 问油桶的尺寸如何设计, 可以使造价最低?
（10江苏）设由抛物线 $y=x^{2}(x \geq 0)$ ，直线 $y=a^{2}(0 < a < 1)$ 与 y 轴所围成的平面图形绕 x轴旋转一周所形成的旋转体的体积记为 $V_{1}(a)$ ，由抛物线 $y=x^{2}(x \geq 0)$ ，直线 $y=a^{2}(0 < a < 1)$ 与直线 $x=1$ 所围成的平面图形绕 x 轴旋转一周所形成的旋转体的体积记为 $V_{2}(a)$ ，另 $V(a)=V_{1}(a)+V_{2}(a)$ ，试求常数 $a$ 的值，使 $V(a)$ 取得最小值。
（05浙江数二）设 $n, m$ 是整数，计算积分 $\int_{0}^{\pi} \cos nx \cos mx dx$.
(18浙江)利用 $\frac{1}{1+x}=\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^{n} x^{n}$ ，
（1）将函数 $\ln (1+x)$ 展开成 $x$ 的幂级数，并指出其收敛域；
（2）将函数 $\ln (3+x)$ 展开成 $x-2$ 的幂级数，并指出其收敛域.
(25浙江)（1）将 $\frac{1}{1-x}$ 展开成 $x$ 冥级数.
（2）将 $\arctan x$ 展开成 $x$ 的幂级数.
（3）求 $\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^{n} \frac{n}{(2 n+1) 3^{n}}$ 的和.