单选题 （共 10 题 ），每题只有一个选项正确
（17河南）函数 $f(x)=\frac{2}{x-5}$ 的定义域是
$\text{A.}$ $(-\infty, 5)$
$\text{B.}$ $(+\infty, 5)$
$\text{C.}$ $(-\infty, 5) \cup(5,+\infty)$
$\text{D.}$ $[5,+\infty)$
（07河南）当 $x \rightarrow 0$ 时，与 $x$ 不等价的无穷小量是
$\text{A.}$ $2 x$
$\text{B.}$ $\sin x$
$\text{C.}$ $e^{x}-1$
$\text{D.}$ $\ln (1+x)$
（19河南）已知函数 $f(x)=\left\{\begin{array}{l}a+\ln x, x \geq 1\\ 2 a x-1, x < 1\end{array}\right.$ 在 $x=1$ 处连续，则 $a=$
$\text{A.}$ 1
$\text{B.}$ -1
$\text{C.}$ $\frac{1}{2}$
$\text{D.}$ $-\frac{1}{2}$
（25河南）函数 $f(x)$ 二阶可导，$y=f\left(e^{x}\right)$ ，则 $y^{\prime \prime}=$
$\text{A.}$ $f^{\prime \prime}\left(e^{x}\right)$
$\text{B.}$ $f^{\prime \prime}\left(e^{x}\right) e^{2 x}$
$\text{C.}$ $e^{x} f^{\prime}\left(e^{x}\right)+e^{2 x} f^{\prime \prime}\left(e^{x}\right)$
$\text{D.}$ $e^{x} f^{\prime}\left(e^{x}\right)+e^{x} f^{\prime \prime}\left(e^{x}\right)$
（10江苏）设 $f(x)=x^{3}-3 x$ ，则在区间 $(0,1)$ 内
$\text{A.}$ 函数 $f(x)$ 单调增加且其图形是凹的
$\text{B.}$ 函数 $f(x)$ 单调增加且其图形是凸的
$\text{C.}$ 函数 $f(x)$ 单调减少且其图形是凹的
$\text{D.}$ 函数 $f(x)$ 单调减少且其图形是凸的
（11江苏）若点 $(1,-2)$ 是曲线 $y=a x^{3}-b x^{2}$ 的拐点，则
$\text{A.}$ $\quad a=1, b=3$
$\text{B.}$ $\quad a=-3, b=-1$
$\text{C.}$ $\quad a=-1, b=-3$
$\text{D.}$ $a=4, b=6$
(05江苏)若 $\int f(x) d x=F(x)+C$, 则 $\int \sin x f(\cos x) d x=$
$\text{A.}$ $F(\sin x)+C$
$\text{B.}$ $-F(\sin x)+C$
$\text{C.}$ $F(\cos x)+C$
$\text{D.}$ $-F(\cos x)+C$
(07江苏)设函数 $f(x)$ 的一个原函数为 $\sin 2 x$, 则 $\int f^{\prime}(2 x) d x=$
$\text{A.}$ $\cos 4 x+C$
$\text{B.}$ $\frac{1}{2} \cos 4 x+C$
$\text{C.}$ $2 \cos 4 x+C$
$\text{D.}$ $\sin 4 x+C$
（22河南）已知 $f(x)=\int_{0}^{2 x} \cos t^{2} d t$ ，则 $f^{\prime}(x)=$
$\text{A.}$ $\cos 4 x^{2}$
$\text{B.}$ $2 \cos 4 x^{2}$
$\text{C.}$ $4 \sin x^{2}$
$\text{D.}$ $4 \cos x^{2}$
（09河南）下列不等式不成立的是
$\text{A.}$ $\int_{1}^{2} \ln x d x>\int_{1}^{2}(\ln x)^{2} d x$
$\text{B.}$ $\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \sin x d x < \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} x d x$
$\text{C.}$ $\int_{0}^{2} \ln (1+x) d x < \int_{0}^{2} x d x$
$\text{D.}$ $\int_{0}^{2} e^{x} d x < \int_{0}^{2}(1+x) d x$
填空题 （共 5 题 ），请把答案直接填写在答题纸上
（24河南）已知 $f(x)=\left\{\begin{array}{ll}x^{2}+3 x, & x \geq 0 \\ 5+2 x^{3}, & x < 0\end{array}\right.$ ，则 $f[f(-1)]=$ ________
（13江苏）设 $\lim _{x \rightarrow 0}\left(\frac{a+x}{a-x}\right)^{\frac{1}{x}}=e$ ，则常数 $a=$ $\_\_\_\_$
（09河南）曲线 $y=\frac{3 x}{1+x}$ 在 $(2,2)$ 点处的切线方程为 （ ）
(08江苏)设函数 $f(x)=\frac{x^{2}-1}{|x|(x-1)}$, 则其第一类间断点为 ________
(06江苏)设 $f(x)$ 在 $[0,1]$ 上有连续的导数且 $f(1)=2, \int_{0}^{1} f(x) d x=3$, 则 $\int_{0}^{1} x f^{\prime}(x) d x=$
解答题 （共 6 题 ），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤
（12江苏）求极限 $\lim _{x \rightarrow 0} \frac{x^{2}+2 \cos x-2}{x^{3} \ln (1+x)}$ ．
（13江苏）求极限 $\lim _{x \rightarrow 0}\left[\frac{e^{x}}{\ln (1+x)}-\frac{1}{x}\right]$ ．
设分段函数$f(x)= \begin{cases}x^2-3 x, & x \leq 2 \\ a x+b, & x>2\end{cases}$在 $x=2$ 处可导，求常数 $a$ 和 $b$ 的值
（23河南）设 $y=y(x)$ 由 $\cos y=e^{2 x+y}+x^{3}-y^{2}+3 \pi$ 所确定，求 $\frac{d y}{d x}$ ．
计算$\int \sqrt{2026x} e^{\sqrt{2026x}} d x$
计算$\int_{-1}^1 \frac{x^2+4 x+4}{x^2+1} d x$
应用题 （共 2 题 ），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤
计算由曲线 $y=|x-1|$ 与抛物线 $y=2-(x-1)^2$ 所围成图形的面积。
求函数 $f(x)=2 x-3 \ln \left(1+x^2\right)+2 \arctan x$ 的极值，并判断是极大值还是极小值。
证明题 （共 1 题 ），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤
设函数 $f(x)$ 在 $[0,1]$ 上连续，且 $\int_0^1 f(x) d x=1$ 。证明：
（1）对于任意整数 $n \geq 3$ ，存在点 $x_0 \in(0,1)$ ，使得 $\int_0^{x_0} f(x) d x=\frac{2}{n}$ 。
（2）在区间 $(0,1)$ 内存在两个不同的点 $\xi$ 和 $\eta$ ，使得 $2 f(\eta)+3 f(\xi)=5 f(\eta) f(\xi)$ 。