单选题 （共 5 题 ），每题只有一个选项正确
（10河南）曲线 $y=\frac{2 \arctan x}{5 x}+3$
$\text{A.}$ 仅有水平渐近线
$\text{B.}$ 仅有垂直渐近线
$\text{C.}$ 既有水平渐近线，又有垂直渐近线
$\text{D.}$ 既无水平渐近线，又无垂直渐近线
（10河南）累次积分 $\int_{0}^{2} \mathrm{~d} x \int_{-\sqrt{2 x-x^{2}}}^{\sqrt{2 x-x^{2}}} f(x, y) \mathrm{d} y$ 写成另一种次序的积分是
$\text{A.}$ $\int_{0}^{1} \mathrm{~d} y \int_{-y}^{y} f(x, y) \mathrm{d} x$
$\text{B.}$ $\int_{0}^{2} \mathrm{~d} y \int_{-\sqrt{2 y-y^{2}}}^{\sqrt{2 y-y^{2}}} f(x, y) \mathrm{d} x$
$\text{C.}$ $\int_{-1}^{1} \mathrm{~d} y \int_{-\sqrt{1-y^{2}}}^{\sqrt{1-y^{2}}} f(x, y) \mathrm{d} x$
$\text{D.}$ $\int_{-1}^{1} \mathrm{~d} y \int_{1-\sqrt{1-y^{2}}}^{1+\sqrt{1-y^{2}}} f(x, y) \mathrm{d} x$
（22河南）当 $x \rightarrow 0$ 时，以下是等价无穷小的是
$\text{A.}$ $1-\cos x$ 与 $\frac{1}{2} x^{2}$
$\text{B.}$ $x$ 与 $\tan ^{2} x$
$\text{C.}$ $x-\sin x$ 与 $\cot x$
$\text{D.}$ $1-\cos x$ 与 $2 x$
（03江苏）若函数 $f(x)=\left\{\begin{array}{cl}\frac{\sin a x}{x} & x>0 \\ 2 & x=0 \\ \frac{1}{b x} \ln (1-3 x) & x < 0\end{array}\right.$ 为连续函数, 则 $a . b$ 满足
$\text{A.}$ $a=2 . b$ 为任何实数
$\text{B.}$ $a+b=-\frac{1}{2}$
$\text{C.}$ $a=2 . b=-\frac{3}{2}$
$\text{D.}$ $a=b=1$
设函数 $F(x)=\int_0^x(x-t) \sin t d t$ ，则 $F^{\prime}(x)$ 等于 ()
$\text{A.}$ $\int_0^x \sin t d t$
$\text{B.}$ $x \sin x$
$\text{C.}$ $-\int_0^x \sin t d t$
$\text{D.}$ $x \cos x$
填空题 （共 5 题 ），请把答案直接填写在答题纸上
（18河南）已知函数 $y=x \sin x$ ，则 $d y=$ ________
已知函数 $f(x)$ 在 $R$ 上具有连续导数，并满足积分方程：$\int_0^x e^{x-t} f(t) d t=x^2+2 x \quad(\forall x \in \mathbb{R})$，求 $\int_0^1 f^{\prime}(x) d x$
函数 $f(x)=\sqrt{x-2}+\ln (x-3)$ 的定义域是 $\_\_\_\_$
微分方程 $y^{\prime \prime}-6 y^{\prime}+9 y=0$ 的通解为 $y=$ $\_\_\_\_$
若点 $(1,4)$ 是曲线 $y=x^3+a x^2+b x+2$ 的拐点，则常数 $a=$ $\_\_\_\_$ ，$b=$ $\_\_\_\_$
解答题 （共 8 题 ），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤
（21河南）设二元函数 $z=\frac{x^{2}}{3 y}-\arcsin (x y)$ ，求 $x y \frac{\partial z}{\partial x}-y^{2} \frac{\partial z}{\partial y}$ ．
(04江苏)计算二重积分 $\iint_{D} \frac{\sin y}{y} d x d y$, 其中 $D$ 由曲线 $y=x$ 及 $y^{2}=x$ 所围成.
（10江苏）.求极限 $\lim _{x \rightarrow 0}\left(\frac{1}{x \tan x}-\frac{1}{x^{2}}\right)$
计算极限 $\lim _{x \rightarrow \infty}\left(\frac{3 x+2}{3 x-1}\right)^{x-3}$
计算$\int \sqrt{2026x} e^{\sqrt{2026x}} d x$
计算$\int_{-1}^1 \frac{x^2+4 x+4}{x^2+1} d x$
计算微分方程$x d y-y d x=2 x^2 e^x d x$的通解
求函数 $f(x, y)=e^{x+y}\left(x^2+y^2\right)$ 的极值
应用题 （共 2 题 ），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤
(02江苏)已知某厂生产 $x$ 件产品的成本为 $C(x)=25000+200 x+\frac{1}{40} x^{2}$ (元), 产品产量 $x$ 与价格 $P$ 之间的关系为: $P(x)=440-\frac{1}{20} x($ 元 $)$
求: (1) 要使平均成本最小, 应生产多少件产品?
(2) 当企业生产多少件产品时, 企业可获最大利润, 并求最大利润.
（12江苏）在抛物线 $y=x^{2}(x>0)$ 上求一点 $P$ ，使该抛物线与其在点 $P$ 处的切线及 $x$ 轴所围成的平面图形的面积为 $\frac{2}{3}$ ，并求该平面图形绕 $x$ 轴旋转一周所形成的旋转体的体积．
证明题 （共 1 题 ），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤
设函数 $f(x)$ 在 $[0,2]$ 上连续，在 $(0,2)$ 上可导，$f(0)=0, f(1)=-2, f(2)=2$ 。
证明：1）存在 $c\in(0,2)$ 使得 $f(c)=-1+\frac{1}{1+c}$ 。
2）存在 $\xi \in(0,2)$ 使得 $\xi f(\xi)-(1+\xi) f^{\prime}(\xi)=1-\xi$ 。