单选题 （共 5 题 ），每题只有一个选项正确
已知函数 $f(x)=x \sin x$ ，则 $f(x)$ 是
$\text{A.}$ 奇函数
$\text{B.}$ 偶函数
$\text{C.}$ 非奇非偶函数
$\text{D.}$ 无法判断
曲线 $y=\frac{1+\mathrm{e}^{-x^2}}{1-\mathrm{e}^{-x^2}}$ 渐近线的条数为 ．
$\text{A.}$ 0
$\text{B.}$ 1
$\text{C.}$ 2
$\text{D.}$ 3
设 $f(x)$ 连续， $\int \frac{f(x) }{x} \mathrm{d} x=\sin x+C$ ，则 $\int f(x) \mathrm{d} x=$
$\text{A.}$ $x \sin x-\cos x+C$
$\text{B.}$ $x \sin x+\cos x+C$
$\text{C.}$ $\sin x+\cos x+C$
$\text{D.}$ $\sin x-x \cos x+C$
设 $f(x)$ 在 $[0,1]$ 上连续、单调递增且恒为正值.记$I_1=\int_0^{\frac{\pi}{4}} f(x) \mathrm{d} x$,$I_2=\int_0^{\frac{\pi}{4}} f(\tan x) \mathrm{d} x$, $ I_3=\int_0^{\frac{\pi}{4}} f(\sin x) \mathrm{d} x$, 则 $I_1, I_2, I_3$ 的大小关系为
$\text{A.}$ $I_2 < I_3 < I_1$
$\text{B.}$ $I_3 < I_1 < I_2$
$\text{C.}$ $I_1 < I_3 < I_2$
$\text{D.}$ $I_3 < I_2 < I_1$
已知 $\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n}u_n=4, \sum_{n=1}^{\infty} u_n=12$ ，则 $\sum_{n=1}^{\infty} u_{2 n-1}=()$
$\text{A.}$ 4
$\text{B.}$ 5
$\text{C.}$ 6
$\text{D.}$ 8
填空题 （共 5 题 ），请把答案直接填写在答题纸上
设$
f(x)=\left\{\begin{array}{ll}
x^2, & x < 1 \\
x+3, & x \geq 1
\end{array}, \quad g(x)= \begin{cases}2-x, & x \leq 0 \\
2 x, & x>0\end{cases}\right.
$,则 $f(g(-2))=$ $\_\_\_\_$
已知曲线 $y=x^3-3 a x^2+3a+1$ 的拐点为 $(1,2)$ ，则 $a=$ $\_\_\_\_$
点 $P(1,-1,2)$ 到平面 $\pi: 2 x-y+5 z-12=0$ 的距离 $d=$
设 $f(2)=\frac{1}{2}, f^{\prime}(2)=0$ ，且 $\int_0^2 f(x) \mathrm{d} x=1$ ，则 $I=\int_0^1 x^2 f^{\prime \prime}(2 x) \mathrm{d} x=$ $\_\_\_\_$
已知函数 $f(x, y)$ 在 $R^{2}$ 上连续，将 $\int_{2}^{3} d x \int_{x^2-8x+12}^{0} f(x, y) d y+\int_{3}^{4} d x \int_{x^2-4x}^{0} f(x, y) d y$ 交换积分次序为 ________
解答题 （共 8 题 ），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤
求极限 $\lim _{x \rightarrow 0} \frac{e^{2-cosx}-e}{x \tan x}$
已知$\int_a^{+\infty} e^{-x} d x=\lim _{x \rightarrow \infty}\left(1+\frac{2}{x}\right)^x$，求常数 $a$
$\int_0^\sqrt3\left(x^3+x\right) \sqrt{1+x^2} d x$
求过点 $(-1,2,3)$ ，垂直于直线 $\frac{x}{4}=\frac{y}{5}=\frac{z}{6}$ 且平行于平面 $7 x+8 y+9 z+10=0$ 的直线方程．
微分方程 $\left(1+y^2\right) \mathrm{d} x+(2 x-1) y \mathrm{~d} y=0$ 的通解为
已知由 $f(y+x, 2y z)=x^2-2y$ 确定函数 $z=z(x, y)$ ， $f$ 具有连续偏导数，求偏导数 $\frac{\partial z}{\partial x}, ~ \frac{\partial z}{\partial y}$
计算$\iint \frac{1}{\sqrt{\left(x^2+y^2\right)^3}} d x d y$
其中D 是 $y=\sqrt{1-x^2}$与 $ x=1 $，$ y=1$围成的区域
设 $f(x)=\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^n (2n+2) \frac{x^{2 n+2}}{(2 n+1)!}$ ,求和函数
应用题 （共 2 题 ），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤
平面图形由曲线 $y=tan x$ 与该$y$轴，$y=1$所围成，试求：
1．该平面图形的面积；
2．该图形绕 $x$ 轴旋转所成的旋转体的体积。
已知函数 $f(x)=-a \ln x+(2 a+1) x-x^2$ ．$(a>0)$.求 $f(x)$ 的极值
证明题 （共 1 题 ），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤
设 $f(x)$ 在 $[0,1]$ 可导，$f(0)=0, f(1)=2$ ，且 $f(x) \not \equiv 2 x$
证明：$\exists \xi \in(0,1)$ ，使$f^{\prime}(\xi)>2$