单选题 （共 10 题 ），每题只有一个选项正确
已知函数 $f(x)=\ln (x-1)$ ，则 $f(x)$ 的定义域是
$\text{A.}$ $(1,+\infty)$
$\text{B.}$ $[1,+\infty)$
$\text{C.}$ $(-\infty, 1)$
$\text{D.}$ $(-\infty, 1]$
已知函数 $f(x)=x \sin x$ ，则 $f(x)$ 是
$\text{A.}$ 奇函数
$\text{B.}$ 偶函数
$\text{C.}$ 非奇非偶函数
$\text{D.}$ 无法判断
（08河南）当 $x \rightarrow 0$ 时， $\ln \left(1+x^{2}\right)$ 是比 $1-\cos x$ 的
$\text{A.}$ 低阶无穷小
$\text{B.}$ 高阶无穷小
$\text{C.}$ 等阶无穷小
$\text{D.}$ 同阶但不等价无穷小
（25河南）$f(x)=\left\{\begin{array}{ll}\frac{x^{2}-3 x+2}{x-2}, x \neq 2 \\ 0, x=2\end{array} \quad\right.$ 判断 $f(x)$ 在 $x=2$ 处是
$\text{A.}$ 连续点
$\text{B.}$ 跳跃间断点
$\text{C.}$ 第二类间断点
$\text{D.}$ 可去间断点
（11江苏）设函数 $f(x)$ 在点 $x_{0}$ 处可导，且 $\lim _{h \rightarrow 0} \frac{f\left(x_{0}-h\right)-f\left(x_{0}+h\right)}{h}=4$ ，则 $f^{\prime}\left(x_{0}\right)=$
$\text{A.}$ -4
$\text{B.}$ -2
$\text{C.}$ 2
$\text{D.}$ 4
曲线 $y=\frac{1+\mathrm{e}^{-x^2}}{1-\mathrm{e}^{-x^2}}$ 渐近线的条数为 ．
$\text{A.}$ 0
$\text{B.}$ 1
$\text{C.}$ 2
$\text{D.}$ 3
（08河南）若函数 $f(x)=(\ln x)^{x}(x>1)$ ，则 $f^{\prime}(x)=$
$\text{A.}$ $(\ln x)^{x-1}$
$\text{B.}$ $(\ln x)^{x-1}+(\ln x)^{x} \ln (\ln x)$
$\text{C.}$ $(\ln x)^{x} \ln (\ln x)$
$\text{D.}$ $x(\ln x)^{x}$
(09江苏)设 $F(x)=\ln (3 x+1)$ 是函数 $f(x)$ 的一个原函数, 则 $\int f^{\prime}(2 x+1) d x=$
$\text{A.}$ $\frac{1}{6 x+4}+C$
$\text{B.}$ $\frac{3}{6 x+4}+C$
$\text{C.}$ $\frac{1}{12 x+8}+C$
$\text{D.}$ $\frac{3}{12 x+8}+C$
设 $f(x)$ 连续， $\int \frac{f(x) }{x} \mathrm{d} x=\sin x+C$ ，则 $\int f(x) \mathrm{d} x=$
$\text{A.}$ $x \sin x-\cos x+C$
$\text{B.}$ $x \sin x+\cos x+C$
$\text{C.}$ $\sin x+\cos x+C$
$\text{D.}$ $\sin x-x \cos x+C$
设 $f(x)$ 在 $[0,1]$ 上连续、单调递增且恒为正值.记$I_1=\int_0^{\frac{\pi}{4}} f(x) \mathrm{d} x$,$I_2=\int_0^{\frac{\pi}{4}} f(\tan x) \mathrm{d} x$, $ I_3=\int_0^{\frac{\pi}{4}} f(\sin x) \mathrm{d} x$, 则 $I_1, I_2, I_3$ 的大小关系为
$\text{A.}$ $I_2 < I_3 < I_1$
$\text{B.}$ $I_3 < I_1 < I_2$
$\text{C.}$ $I_1 < I_3 < I_2$
$\text{D.}$ $I_3 < I_2 < I_1$
填空题 （共 5 题 ），请把答案直接填写在答题纸上
设$
f(x)=\left\{\begin{array}{ll}
x^2, & x < 1 \\
x+3, & x \geq 1
\end{array}, \quad g(x)= \begin{cases}2-x, & x \leq 0 \\
2 x, & x>0\end{cases}\right.
$,则 $f(g(-2))=$ $\_\_\_\_$
已知曲线 $y=x^3-3 a x^2+3a+1$ 的拐点为 $(1,2)$ ，则 $a=$ $\_\_\_\_$
设参数方程$
\left\{\begin{array}{l}
x=\ln \left(1+t^2\right) \\
y=t-\arctan t
\end{array}\right.
$,则 $\frac{d y}{d x}=$ $\_\_\_\_$
已知$\int_1^2 f(x) dx + 2 \int_2^3 f(x) dx = \int_1^3 f(x) dx + 3 $,$\quad2 \int_1^2 f(x) dx - \int_2^3 f(x) dx = 1$,则$\int_1^3 f(x) dx = \underline{\hspace{2em}}$
设 $f(x)$ 连续，$g(x)=\int_0^{x^2} x f(t) \mathrm{d} t$ ，且 $g(1)=1, g^{\prime}(1)=5$ ，则 $f(1)=$
解答题 （共 6 题 ），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤
求极限 $\lim _{x \rightarrow 0} \frac{e^{2-cosx}-e}{x \tan x}$
$\lim _{x \rightarrow 1} \frac{x^2-1}{\sqrt{4 x-3}-1}$
设分段函数$f(x)= \begin{cases}x^2-3 x, & x \leq 2 \\ a x+b, & x>2\end{cases}$在 $x=2$ 处可导，求常数 $a$ 和 $b$ 的值
$\int \frac{{arctan} \sqrt{x+1}+1}{\sqrt{x+1}} d x$
$\int_0^\sqrt3\left(x^3+x\right) \sqrt{1+x^2} d x$
设方程 $\arctan (x+y)+x y=\frac{\pi}{4}$ 确定隐函数 $y=y(x)$ ，且曲线经过点 $(0,1)$ .求曲线在点 $(0,1)$ 处的切线方程。
应用题 （共 2 题 ），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤
已知函数 $f(x)=-a \ln x+(2 a+1) x-x^2$ ．$(a>0)$.求 $f(x)$ 的极值
平面图形由抛物线 $y^2=4 x$ 与该曲线在点 $(1,2)$ 处的法线所围成，试求该平面图形的面积
证明题 （共 1 题 ），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤
设 $f(x)$ 在 $[0,1]$ 上连续，在 $(0,1)$ 内可导，且 $f(1)-f(0)=\frac{1}{2}$ ，证明：存在不同的两点 $\xi$ 和 $\eta \in(0,1)$ ，使得 $f^{\prime}(\xi)+f^{\prime}(\eta)=1$ ．