解答题 （共 23 题 ），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤
（11山东）已知函数 $z=x^{4}+y^{4}-4 x^{2} y^{2}$ ，求 $\frac{\partial^{2} z}{\partial x \partial y}$ ．
（14山东）若 $u=\ln \left(x^{2}+y\right)$ ，求 $\frac{\partial^{2} u}{\partial x \partial y}$ ．
（20山东数二）已知函数 $z=x \sin \frac{y}{x}$ ，求 $\frac{\partial^{2} z}{\partial x \partial y}$
(23山东数三)求 $y=\left\{\begin{array}{l}-x, x \leq 0 \\ 2 x, x>0\end{array}\right.$ 与 $y=-x^{2}+2 x+4$ 围成图形面积
（24山东数二）计算曲线 $y=2 \sqrt{x}$ ，直线 $y=x+1, y=-x$ 所围成的封闭区域面积
（24山东数三）求曲线 $x y=1$ 与直线 $y=-x+2, y=4 x$ 围成图形面积
（16河南）已知函数 $z=f(x, y)$ ，由方程 $x z-y z-x+y=0$ 所确定，求全微分 $\mathrm{d} z$ 。
（19河南）设 $x y+x y z=2 x-4 y(x y \neq 0)$ ，求 $\frac{\partial z}{\partial x}, \frac{\partial z}{\partial y}$ ．
（20河南）设函数 $z=z(x, y)$ 由方程 $x^{2}+y^{3}+3 x y z^{2}+2 z=1$ 所确定，求 $\frac{\partial z}{\partial x}, \frac{\partial z}{\partial y}$（其中 $6 x y z+2 \neq 0$ ）．
（20河南）计算 $\iint_{D} y d x d y$ ，其中 $D=\left\{(x, y) \mid x^{2}+y^{2} \leq 1, x \geq 0, y \geq 0\right\}$ ．
（21河南）计算二重积分 $I=\iint_{D} e^{\frac{y}{x}} d x d y$ ，其中积分区域 $D$ 由直线 $y=x, y=0, x=3$ 围成．
（22河南）已知积分区域 $D={(x, y) \mid 0 \leq x \leq 3,1 \leq y \leq 5}$ ，计算二重积分 $\iint_{D} \frac{x \ln y}{y \sqrt{x^{2}+1}} d x d y$ ．
（23河南）求二重积分 $\iint_{D}\left(\frac{x^{3}}{y^{2}}+2 x\right) d x d y$ ，其中 $D$ 是由 $x=\sqrt{2 y}, x=0, y=2$ 围成的区域．
（24河南）若 $z=f(x, y)$ 由方程 $x^{2}+\mathrm{e}^{-y}+z=x y z$ 所确定，求 $\mathrm{d} z$ ．
（24河南）求二重积分 $\iint_{D}(x+y) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y$ ，其中 $D$ 由 $y=x, y=2-x, y$ 轴围成．
（25河南）计算二重积分 $\mathrm{I}=\iint_{\mathrm{D}} x^{2} e^{-\frac{y}{x}} d x d y$ ，其中 D 是由直线 $y=2 x, y=0, x=1$ 及 $x=2$ 所围成的闭区域
(02江苏)已知 $z=\ln \left(x+\sqrt{x^{2}+y^{2}}\right)$, 求 $\frac{\partial z}{\partial x}, \frac{\partial^{2} z}{\partial y \partial x}$
(09江苏)计算二重积分 $\iint_{D} y d x d y$,
其中 $D=\left\{(x, y) \mid 0 \leq x \leq 2, x \leq y \leq 2, x^{2}+y^{2} \geq 2\right\}$.
（10江苏）计算二重积分 $\iint_{D} x d x d y$ ，其中 D 是由曲线 $x=\sqrt{1-y^{2}}$ ，直线 $y=x$ 及 $x$ 轴所围成的闭区域。
（11江苏）计算二重积分 $\iint_{D} y d x d y$ ，其中 $D$ 是由曲线 $y=\sqrt{2-x^{2}}$ ，直线 $y=-x$ 及 $y$ 轴所围成的平面闭区域.
（12江苏）计算二重积分 $\iint_{D} y d x d y$ ，其中 $D$ 是由曲线 $y=\sqrt{x-1}$ ，直线 $y=\frac{1}{2} x$ 及 $x$ 轴所围成的平面闭区域．
（13江苏）设函数 $z=z(x, y)$ 由方程 $z^{3}+3 x y-3 z=1$ 所确定，求 $d z$ 及 $\frac{\partial z}{\partial x}, \frac{\partial z}{\partial y}$ ．
（13江苏）计算二重积分 $\iint_{D} x d x d y$ ，其中 $D$ 是由曲线 $y=\sqrt{4-x^{2}}(x>0)$ 与三条直线 $y=x, x=3, y=0$ 所围成的平面闭区域．
应用题 （共 6 题 ），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤
（16河南）求由直线 $x=1, x=e, y=0$及曲线 $y=\frac{1}{x}$ 所围成平面图形的面积．
（17河南）求由抛物线 $2 y^{2}=x$ 与直线 $x-2 y=4$ 所围成平面图形的面积。
(05江苏)已知曲边三角形由 $y^{2}=2 x, x=0, y=1$ 所围成, 求:
(1). 曲边三角形的面积;
(2). 曲边三角形绕 $X$ 轴旋转一周的旋转体体积.
(06江苏)已知一平面图形由抛物线 $y=x^{2} , y=-x^{2}+8$ 围成.
(1) 求此平面图形的面积;
(2) 求此平面图形绕 $y$ 轴旋转一周所得的旋转体的体积.
(07江苏)设平面图形由曲线 $y=1-x^{2}(x \geq 0)$ 及两坐标轴围成.
(1) 求该平面图形绕 $x$ 轴旋转所形成的旋转体的体积;
(2) 求常数 $a$ 的值, 使直线 $y=a$ 将该平面图形分成面积相等的两部分.
(08江苏)设平面图形由曲线 $y=x^{2}, y=2 x^{2}$ 与直线 $x=1$ 所围成.
(1) 求该平面图形绕 $x$ 轴旋转一周所得的旋转体的体积.
(2) 求常数 $a$, 使直线 $x=a$ 将该平面图形分成面积相等的两部分.